时空图:以天狼星单程旅行为例

发布于 2022-07-05  195 次阅读


最近看从《从一到无穷大》,对里面的闵氏时空图很感兴趣,恰好里面有去天狼星的例子,因此想用时空图画画看。为简化问题,这里取天狼星到地球的距离为9光年,实际约为8.6光年。同时为了便于画图,纵轴时间轴以年×光速为单位,横轴空间轴以光年为单位。使用geogebra进行绘图。使用latex书写公式。

公式和绘图参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/66672960

第一步 出发前的时空图

图1 出发前的时空图

如图1所示,线段g(CAD)表示飞船,A点为质心。直线f表示天狼星B的世界线。射线h(AE)表示A的光锥。射线i(AF)表示飞船的将来的世界线,其速度为 tanα=0.9 倍光速。

第二步 出发后的时空图

图2 出发后的时空图

如图2所示,为了便于绘图,减小了α。直线AF与直线AL构成了以飞船为参考系的新时空坐标系。

  • x'为0的直线AF为新的纵轴,t'为0的直线AL为新的横轴,两者关于AE轴对称
  • AB在新坐标系的几何位置为(AL,AK),物理位置为(ALβ,AKβ)

第三步 看一些有趣的发现

  • AB的时空距离原来为9,现在AB'的时空距离依然为9
  • 对于出发的飞船上的人来说,旅行只花了4.36年,小于10年
  • 根据四维时空距离不变性,可以轻松计算飞船感知的旅程时间耗费:(iAFβ)^2=AB^2+(iAF)^2
  • 对于出发的飞船上的人来说,天狼星距离为3.92光年,小于9光年
  • 对于出发的飞船上的人来说,自身的速度 v = 3.92/4.36 = 0.9 倍光速,与外界观察一致。
  • AF、AL上的单位对应的几何长度均变为原来的1/β
  • 飞船感知外界的空间长度AB'变成了空间长度ALβ,变长了γ倍,外界尺子变长了
  • 飞船感知外界的时间长度AF'变成了时间长度AFβ,缩短为1/γ,外界时间变快了
  • 飞船认为外界“尺长钟快”,因此外界认为飞船上“尺缩钟慢”

一枚爱好探索的医学生